Kardinale Nutzenfunktion Beispiel Essay

Eine Nutzenfunktion ist in der Wirtschaftswissenschaft und insbesondere der Mikroökonomie eine mathematische Funktion, die Präferenzen von Wirtschaftssubjekten beschreibt. Sie ordnet beliebigen Güterbündeln jeweils eine reelle Zahl zu, und zwar in der Weise, dass höher geschätzte Güterbündel größere Zahlen erhalten. Die zugeordneten Zahlen heißen Nutzen der jeweiligen Güterbündel.

In der mikroökonomischen Theorie beinhalten Nutzenfunktionen nur Aussagen über die Rangordnung: Liefert ein Güterbündel einen höheren Nutzen als ein anderes, so darf daraus lediglich gefolgert werden, dass ersteres aus Sicht des betreffenden Wirtschaftssubjekts „besser“ als letzteres ist; wie groß der Abstand zwischen den Zahlen ist, hat dabei keinerlei Bedeutung. Man bezeichnet derartige Nutzenfunktionen auch als ordinale Nutzenfunktionen, weil sie lediglich eine Ordnung der Güterbündel vorgeben. Das Konzept der ordinalen Nutzenfunktion basiert auf einem anderen theoretischen Fundament als die so genannten kardinalen Nutzenfunktionen, bei denen auch der Unterschied zwischen dem Nutzenwert zweier Güter interpretierbar ist.[1]

Das Konzept der Nutzenfunktion wird sowohl unmittelbar in der Mikroökonomie als auch im Kontext makroökonomischer Fragestellungen eingesetzt.

Das Ziel der Nutzenmaximierung wird oft als handlungsbestimmendes Streben der Konsumenten angenommen (vgl. Homo oeconomicus). Ein alternatives Ziel wäre das Satisficing (eine Anspruchserfüllung).

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden wird jeweils von lediglich ordinaler Messbarkeit des Nutzens ausgegangen und die Nutzenfunktion wird so eingeführt, wie sie in der Haushaltstheorie konstruiert wird.

Illustrative Definition im Zwei-Güter-Fall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beschränkt man zunächst zur Vereinfachung den Umfang der Güterbündel auf zwei Güter, so kann man sich beispielsweise ein Güterbündel A vorstellen, das sich aus zwei Güterarten zusammensetzt: Kiwi (Gut 1) und Kirschen (Gut 2). In Güterbündel A sei nun eine gewisse Menge Kiwi – bezeichnet mit – und eine gewisse Menge Kirschen – bezeichnet mit enthalten; man schreibt für dieses Güterbündel kurz . Analog stellt man sich ein zweites Güterbündel B aus Kiwi und Kirschen vor, das entsprechend durch dargestellt ist. Mit konkreten Werten kann man sich beispielsweise vorstellen, dass , das heißt in Güterbündel A sind zwei Kiwi und sechs Kirschen enthalten, während . Nimmt man wie üblich an, dass die Präferenzen monoton sind (salopp: „mehr ist besser“), sollte der Haushalt B gegenüber A vorziehen. Es gibt unendlich viele Nutzenfunktionen, die die Präferenzen abbilden können, da sie ja lediglich sicherstellen müssen, dass der Funktionswert an der Stelle größer ist als der an der Stelle . Beispielsweise könnte man eine Funktion verwenden, mit der und . Auch negative Werte sind möglich: Sei eine andere Nutzenfunktion und bzw. , dann ist auch diese Nutzenfunktion konsistent mit den Präferenzen des Haushalts.

Analog müssen Güterkombinationen, die der Haushalt gleich gerne mag, auch gleiche Nutzenwerte erhalten. Wenn zum Beispiel das Güterbündel als gleich gut empfunden wird wie das Güterbündel , dann muss auch für jede Nutzenfunktion gelten, dass .

Formale Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der mikroökonomischen Theorie geht man davon aus, dass Wirtschaftssubjekte Präferenzen über die ihnen potenziell zur Verfügung stehenden Auswahlalternativen haben. Mathematisch lassen sich derartige Präferenzen (die sehr allgemein sein können) als binäre Relationen darstellen. Beispielsweise wird so als Präferenz-Indifferenz-Relation vereinbart. Seien nun und Vektoren von Gütern aus einer Menge von Alternativen, dann wird durch ausgedrückt, dass das Güterbündel mindestens so gut wie oder besser als bewertet wird. Um diese Information in der korrespondierenden Nutzenfunktion zu bewahren, muss auch dort der Funktionswert der Nutzenfunktion für gleich hoch oder höher sein als der von . Dies führt auf folgende exakte Definition:

Definition[2]: Eine Funktion ist eine Nutzenfunktion, die die Präferenz-Indifferenz-Relation abbildet, wenn für alle Güterbündel gilt: .

Nutzenfunktionen ermöglichen es so, bestimmte Präferenz-Indifferenz-Relationen äquivalent funktional zu repräsentieren (siehe auch der Abschnitt Existenz einer Nutzenfunktion in diesem Artikel). Ihr Vorteil liegt in der vergleichsweise wesentlich einfacheren mathematischen Handhabbarkeit.

Ebenso wie bei der Analyse der Präferenzrelationen kann auch hier die Indifferenz und die strikte Präferenz aus der Präferenz-Indifferenz-Relation hergeleitet werden. Die Definition der strikten Präferenz lautet: Für zwei Alternativen und ist genau dann , wenn (1) , aber (2) nicht zugleich . Handelt es sich bei nun um eine Nutzenfunktion, so gilt mit ihrer obigen Definition wegen (1), dass und wegen (2), dass nicht , was eben impliziert, dass bei strikter Präferenz auch tatsächlich . Analog zeigt sich auch für die Indifferenzrelation , dass sie nach obiger Definition von gerade dadurch in der Nutzenfunktion zum Ausdruck gebracht wird, dass für zwei für gleichwertig erachtete Güterbündel . Wie groß der Abstand zwischen den Funktionswerten ist oder wie hoch die Funktionswerte selbst sind, ist ohne Aussagekraft.

Einordnung und Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nutzenkonzept und Transformationen der Nutzenfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die für die obige Definition zugrunde gelegte Interpretation ist recht allgemein gefasst, dergestalt dass die konkreten Nutzenwerte für sich nicht interpretierbar sind – es geht beim Vergleich von Güterbündeln lediglich darum, wie sich die zwei korrespondierenden Nutzenwerte zueinander verhalten, das heißt ob einer größer, gleich groß oder kleiner als der andere ist. Dies basiert auf dem Ansatz, die Messbarkeit des Nutzens als ausschließlich ordinal aufzufassen. Das Nutzenkonzept der modernen Haushaltstheorie fußt auf dieser Annahme, da in den Präferenzrelationen keinerlei weitere Informationen enthalten sind (paarweiser Vergleich von Alternativen). Es ist damit intuitiv einsichtig, dass Nutzenfunktionen im oben definierten Sinne auch beliebig positiv streng monoton transformiert werden können, dass also dieselben Informationen enthält wie , wenn nur streng monoton steigend in ist.

Denkbar – aber nicht mit obigem Konzept vereinbar – sind hingegen durchaus auch andere Typen von Nutzenfunktionen. Misst man den Nutzen beispielsweise auf einer Kardinalskala, so wäre eine Transformation nur dann zulässig, wenn sie positiv affin ist, wenn also . Die restriktiveren Anforderungen der Kardinalskala korrespondieren allerdings mit erweiterten Interpretationsmöglichkeiten, denn hier wäre es durchaus möglich, aus der Tatsache, dass der Nutzenwert beim Übergang von Güterbündel zu um 10 steigt, während er beim Übergang von zu um 20 steigt, zu folgern, dass der zusätzliche Nutzen von gegenüber doppelt so hoch ist wie der von gegenüber .

Misst man den Nutzen auf einer Verhältnisskala, so wäre eine Transformation nur dann zulässig, wenn sie positiv linear ist, wenn also . Hier könnte man daraus, dass der Nutzen von Güterbündel doppelt so groß ist wie der von , folgern, dass ersteres Bündel auch einen doppelt so hohen Nutzen wie letzteres stiftet.

Im Extremfall ist überhaupt keine Transformation zulässig (Absolutskala), wobei dann selbst die absolute Nutzenhöhe (zum Beispiel ) interpretierbar wäre.

Existenz einer Nutzenfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Setzt man die Existenz einer Präferenzordnung voraus, kann diese nicht in allen Fällen durch eine Nutzenfunktion repräsentiert werden. Vielmehr sind zusätzliche Anforderungen an die Alternativenmenge oder die Präferenzordnung zu stellen.

Hauptartikel: Präferenzrelation

Funktionale Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Basierend auf den zugehörigen Präferenzordnungen lassen sich auch Aussagen über die Eigenschaften einer Nutzenfunktion treffen.

Zusammenhang zwischen den Eigenschaften der Präferenzrelation und den Eigenschaften der daraus konstruierten Nutzenfunktion[3]:

Dabei bezeichnet man eine Präferenz-Indifferenz-Relation als streng monoton, wenn ; als konvex, wenn und als strikt konvex, wenn

Nutzenfunktion im Zwei-Güter-Fall (hier: Cobb-Douglas-Nutzenfunktion, siehe unten).

Haushaltstheorie

Präferenzordnungen[Bearbeiten]

Die Mikroökonomie geht von der zentralen These aus, dass alle wirtschaftlichen Ereignisse auf den rationalen Entscheidungen einzelner Menschen fußen [1]. Um Marktprozesse zu erklären, fängt die Mikroökonomie daher auf der untersten Ebene an (daher die Bezeichnung Mikroökonomie): bei der Analyse der wirtschaftlichen Entscheidungen von Individuen.

Menschen sind offensichtlich sehr unterschiedlich. Der eine isst gerne Spaghetti, der andere weilt lieber beim Chinesen, der eine geht gerne ins Kino, der andere spart lieber auf große Reisen und wieder ein anderer gibt sein ganzes Geld für Bücher aus. Wie lässt sich diese Vielfalt an Konsumvorlieben möglichst allgemein fassen? Die Mikroökonomie geht davon aus, dass die Menschen unterschiedliche Präferenzen haben. Die Frage, woher diese unterschiedlichen Neigungen stammen, wird ausgeblendet. Die mikroökonomische Theorie beginnt erst mit der Fragestellung, wie unter bestimmten Nebenbedingungen gegebene Vorlieben möglichst gut befriedigt werden können.

Der Begriff „Haushaltstheorie“ leitet sich aus der Tatsache ab, dass die Analyse auf der Ebene des Haushalts halt macht und es in diesem Einführungslehrbuch keine Rolle spielen soll, wie die Entscheidungen innerhalb eines Haushalts zu Stande kommen. Man spricht in diesem Fall davon, dass die Haushalte als eine black box aufgefasst werden. Wir analysieren nur ihr Verhalten auf dem Markt, nicht aber, was sich in ihrem Innern abspielt. Egal ob ein Haushalt aus einer Person oder einer ganzen Familie besteht, soll er als eine wirtschaftliche Einheit behandelt werden. Vereinfachend gesprochen, wird davon ausgegangen, dass jeder Haushalt aus genau einem Individuum besteht. Daher verwenden wir im Folgenden die Begriffe „Individuum“ und „Haushalt“ synonym. Diese Vorgehensweise wird sich bei der [Mikroökonomie/_Unternehmenstheorie|Unternehmenstheorie] wiederholen, bei der die mannigfaltigen Produktionsbeziehungen und Interessenkonflikte innerhalb eines Unternehmens vorerst ausgeblendet werden.

Um die Bedürfnisbefriedigung messen zu können, muss ein Haushalt in der Lage sein, beliebige Güterbündel zu bewerten und in eine persönliche Rangfolge zu bringen. Wir unterscheiden die ordinale und die kardinale Nutzentheorie. Die ordinale Nutzentheorie verlangt, dass die Haushalte in der Lage sind, zwei beliebige Güterbündel danach zu unterscheiden, ob sie denselben Nutzen stiften oder ob eines gegenüber dem anderen strikt besser ist. Alle Güterbündel können somit in eine Rangordnung gebracht werden - von dem Bündel, das den geringsten Nutzen stiftet, bis hin zum Bündel, das den höchsten Nutzen stiftet -, ohne dass der genaue Nutzenwert bekannt sein muss. Die kardinale Nutzentheorie geht einen Schritt weiter. Sie geht davon aus, dass es möglich ist, allen Güterbündeln ein eindeutig messbares Nutzenniveau zuzuschreiben, das auf einer metrischen Skala definiert ist, die für alle Menschen gleich ist. Ist dies der Fall, kann auch die Frage beantwortet werden, wie viel mehr oder weniger Nutzen ein bestimmtes Güterbündel stiftet. Diese Information ist bei einer rein ordinalen Rangordnung nicht vorhanden.

Ein gutes Beispiel außerhalb der Ökonomie für ordinale und kardinale Rangfolgen sind Schulnoten und Körpergrößen. Eine Eins in Mathe ist mit Sicherheit eine bessere Note als eine Drei. Allerdings lässt sich nicht sagen, dass eine Eins dreimal so gut ist wie eine Drei. Ein Mensch, der zwei Meter misst, ist dagegen in der Tat doppelt so groß wie ein Dreijähriger, der genau einen Meter hoch ist. Schulnoten sind ordinal skaliert, während Körpergrößen eine kardinale Skala besitzen. Für die Herleitung des Haushaltsoptimums reichen die äußerst sparsamen Annahmen der ordinalen Nutzentheorie aus, während für anspruchsvollere Fragestellungen (z.B. Entscheidungen bei Unsicherheit) meist Kardinalität unterstellt werden muss. Die Unterscheidung von ordinalen und kardinalen Nutzenfunktionen hat allerdings wenig praktische Bedeutung und mehr einen theoretischen Wert und soll daher keine weitere Rolle spielen. Vielmehr werden im Folgenden der Einfachheit halber kardinale Nutzenfunktionen unterstellt.

Die Grundannahmen der Nutzentheorie[Bearbeiten]

Die Nutzentheorie stellt für gewöhnlich die folgenden fünf Grundannahmen auf, die die meisten menschlichen Präferenzordnungen erfüllen. Vorab sei kurz die verwendete Notation vorgestellt, die an Feess (2000) angelehnt ist. stellt ein Güterbündel dar, das aus n verschiedenen Konsumgütern besteht, wobei jeweils die Menge des kten Konsumgutes im Bündel i bezeichnet. Wir verwenden die Symbole (wenn ein Güterbündel gegenüber einem anderen strikt bevorzugt wird), (wenn ein Güterbündel gegenüber einem anderen strikt weniger Nutzen stiftet) sowie (bei Indifferenz). Die geschwungenen Symbole sollen verdeutlichen, dass es sich hier um persönliche Nutzenbewertungen handelt und keinesfalls um reine Mengenangaben: ein Diamant kann einen viel größeren Nutzen stiften als tausend Kugelschreiber.

  • Reflexivität:
Die Annahme der Reflexivität erfordert, dass völlig identische Güterbündel auch gleich bewertet werden. Diese Annahme ist im Allgemeinen unproblematisch und meistens erfüllt. Sie ist allerdings dann verletzt, wenn Menschen sich durch den reinen Kontext, in dem z.B. eine Kaufentscheidung steht, beeinflussen lassen (framing). Das heißt, dass bei zwei völlig identischen (!) Frottee-Handtüchern, die in verschiedenen Läden jeweils zehn Euro kosten, das eine auch dann nicht bevorzugt werden darf, wenn ein Rabattschild darauf hinweist, dass es in diesem Laden zuvor 15 Euro gekostet hat.
  • Vollständigkeit:
Die Annahme der Vollständigkeit erfordert, dass jeder Haushalt alle möglichen Güterbündel der Welt in eine klare Rangfolge bringen kann. Diese Annahme ist eher technischer Natur und schließt aus, dass ein Individuum einfach nicht weiß, wie es ein bestimmtes Güterbündel bewerten soll.
  • Transitivität: und dann folgt
Die Annahme der Transitivität erfordert die Widerspruchsfreiheit der Präferenzordnung. Wenn also jemand Höherprozentiges bevorzugt, dann gilt: SchnapsBier und BierWasser. Dann sollte (auch ohne Kenntnis der Alkohol-Präferenz) gelten, dass SchnapsWasser.
  • Nicht-Sättigung: sofern gilt, dass für jedes beliebige Gut k und für mindestens ein Gut k.
Die Nichtsättigungs-Annahme geht davon aus, dass ein Güterbündel, das von einem Konsumgut mehr enthält als ein anderes Bündel und ansonsten gleich viel von allen anderen Gütern, auch immer strikt bevorzugt wird. Salopp gesagt, gilt: mehr ist besser.
Die Nichtsättigungs-Annahme, die auch als Monotonieeigenschaft der Präferenzen bezeichnet wird, wird vor allem von Nicht-Ökonomen scharf kritisiert. Denn natürlich kennen wir alle Situationen, in denen mehr nicht immer auch besser ist. Während das erste Freibier noch herzhaft schmeckt und vielleicht auch noch das fünfte unseren Nutzen steigert, wird uns spätestens vom dreizehnten Pils speiübel. Ist die Annahme der Nicht-Sättigung also vollkommen unrealistisch? Keineswegs. Als Ökonomen interessieren wir uns vornehmlich für Situationen, in denen wir noch längst nicht alles haben und in denen etwas mehr von einem Gut den Nutzen in der Tat noch steigert. Das ist auch der realistischere Fall. Denn wann kommen wir überhaupt einmal in die Verlegenheit, dreizehn Freibiere spendiert zu bekommen?
  • Konvexität: Wenn , so gilt bei konvexen Funktionen für alle
Die Annahme der Konvexität unterstellt, dass die Konsumenten durchschnittliche Güterbündel präferieren. Mathematisch ausgedrückt, ist eine Indifferenzkurve streng konvex, wenn ihre zweite Ableitung positiv ist. Wir werden auf diesen Punkt in aller Ausführlichkeit bei der Diskussion der Grenzrate der Substitution zurückkommen.

Die Indifferenzkurve[Bearbeiten]

Wie gelangen wir nun von der Kenntnis der Präferenzordnung eines Individuums zu seiner Nutzenfunktion? Stellen wir uns dazu folgende Situation vor: Zwei Brüder erhalten als Belohnung fürs abendliche Zähneputzen jeweils zwei Gummibärchen und ein Kaubonbon - die sie natürlich erst am nächstem Morgen konsumieren dürfen . Eines Tages tritt der Schrecken aller Eltern ein, nämlich dass die Tüte mit den Gummibärchen nur noch exakt zwei Stück enthält und sich trotz intensiver Suche in der Vorratskammer keine neue Tüte auftreiben lässt. (Das Beispiel stammt aus den Zeiten vor der fast völligen Liberalisierung des Ladenschlusses.) Die Tüte mit den Bonbons ist dagegen noch randvoll gefüllt. Nehmen wir an, die beiden Kinder haben absolut dieselben Präferenzen in Bezug auf Süßigkeiten. Über die Annahme der Vollständigkeit können wir ohne Mühe sofort in einem x-y-Diagramm all jene Punkte, d.h. Güterbündel, miteinander verbinden, zwischen denen jeder der Jungen genau indifferent ist. Diese Linie, auf denen alle gleich bewerteten Güterbündel liegen, wird Indifferenzkurve genannt. Die Präferenzen könnten wie rechts abgebildet aussehen. Demnach sind den Kindern zwei Gummibärchen und ein Kaubonbon (Punkt A) ebenso lieb wie zwei Kaubonbons und ein Gummibärchen (Punkt B) oder fünf Kaubonbons und ein halbes Gummibärchen. Die Indifferenzkurve ist nun (nicht nur) für die Eltern eine äußerst nützliche Information sein. Um das brave Zähneputzen zu belohnen, kann jedem Buben anstatt der zwei an diesem einen Abend nur ein Gummibärchen „ausgezahlt“ werden und anstatt des einen nun zwei Kaubonbons, sodass die Kinder denselben Nutzen wie ansonsten haben. Falls am nächsten Tag kein Gummibärchen-Nachschub besorgt werden kann, um zur alten Gewohnheit zurück zu kehren, kann noch auf andere Kombinationen ausgewichen werden, wie zum Beispiel heute und morgen jedem Kind nur ein halbes Gummibärchen zu geben und dafür jeweils fünf Kaubonbons. Immer bleiben die Kinder auf demselben Nutzenniveau.

Für diejenigen, die mit der einfachen Kinderwelt, die nur aus Gummibärchen und Kaubonbons besteht, nichts anfangen können, wollen wir die Diskussion mit einem Beispiel vertiefen, das eher aus der Erfahrungswelt von Studierenden entstammt. Gehen wir davon aus, dass sich unser Nutzen ausschließlich an dem Konsum von zwei lebensnotwendigen Gütern bemisst: von unserer Nahrungsmenge und der Größe unseres Wohnraums. Nehmen wir zur weiteren Vereinfachung an, dass sich der Komfort einer jeden Wohnung nur an der verfügbaren Wohnfläche in m2 (Gut x) bemisst und die Nahrungsaufnahme in Mahlzeiten (Gut y) gemessen wird, die Essen und Trinken enthalten. Das Beispiel gewinnt an Realitätsnähe, wenn wir eine Einheit Mahlzeit nicht nur im strengen Sinne des Wortes verstehen, sondern allgemein als eine standardisierte Freizeitausgabe interpretieren, die ein Mensaessen oder ein Restaurantbesuch oder eine Kinokarte darstellen kann. Der Einfachheit halber werden wir künftig aber nur von Mahlzeiten sprechen.

Das Individuum steht bei der Bildung seiner Präferenz-Rangfolge vor der Frage, welche Kombinationen aus Mahlzeiten und Wohnfläche ihm denselben Nutzen stiften bzw. welche Güterbündel gegenüber anderen bevorzugt werden. Es erscheint plausibel, dass sich Wohnkomfort und Mahlzeiten in einer gewissen Bandbreite gegeneinander ersetzen lassen. Für eine etwas größere Studentenbude wären wir bereit, unsere sonstigen Konsumausgaben (Mahlzeiten) etwas einzuschränken, ohne dass sich unser Nutzen verringert. Auf wie viele Mahlzeiten er genau verzichten würde, hängt von seinen ganz persönlichen Präferenzen für Nahrung und Wohnen ab. …

Die Indifferenzkurve ist der geometrische Ort aller Güterbündel (x,y), die dem Individuum denselben Nutzen stiften.


to be added …

Die Budgetgerade[Bearbeiten]

Das Kernelement der mikroökonomischen Haushaltstheorie ist die Nutzenmaximierung unter Knappheitsbedingungen. Die natürlichste Einschränkung, die uns im Leben begegnet, ist unser verfügbares Einkommen. Jeder und jedem von uns fällt mit Sicherheit eine Reihe von Dingen ein, die wir uns gerne leisten würden, aber nicht leisten können: für die einen ist es die berühmte "Villa im Tessin", für die anderen eine Reise um den Mond und wieder andere würden sich am liebsten die "Goldene Adele", das teuerste Gemälde der Welt, in ihr Wohnzimmer hängen.

Stellen wir uns also vor, dass unser Individuum ein bestimmtes Budget M zur freien Verfügung hat, wobei M für einen beliebigen Geldbetrag (money) steht. Bevor wir uns eingehender der Frage zuwenden, welches Konsumbündel den Nutzen des Individuums maximiert, lohnt sich ein genauerer Blick auf die Eigenschaften dieser Budgetbeschränkung. Wenn wir in der einfachen Zwei-Güter-Welt aus dem vorherigen Abschnitt bleiben, bedeutet die Budgetbeschränkung nichts anderes, als dass wir für Wohnen und Nahrung nicht mehr als M-Geldeinheiten ausgeben dürfen, d.h. der Preis von Mahlzeiten (Gut x) mal deren Anzahl plus den Quadratmeterpreis mal die Wohnfläche (Gut y) darf den Betrag M nicht überschreiten. Mathematisch lässt sich dies ausdrücken als

Von besonderem Interesse sind nun alle diejenigen Güterbündel (x,y), bei denen das gesamte Einkommen für den Konsum ausgegeben wird, also kein Geld übrig bleibt. Denn da keine Ersparnis gebildet werden soll, kann es unter der Nichtsättigungs-Annahme nicht nutzenmaximal sein, am Ende nicht alles Geld in Konsumgüter umzusetzen. Daher muss im Optimum das gesamte Budget aufgebraucht werden. Die Budgetbeschränkung wird zur Budgetgleichung:

Wenn wir nun alle diese Güterkombinationen, die sich der Haushalt mit seinem Budget leisten kann und bei denen gleichzeitig kein Geld übrig bleibt, in ein x-y-Diagramm einzeichnen wollen, müssen wir die Budgetgleichung nach der Menge y auflösen. Wir erhalten eine Funktionsvorschrift y(x) (sprich y von x), die uns –gegeben die Konsummenge von Gut x und gegeben unser Einkommen M- angibt, wie viele Einheiten von Gut y wir uns noch leisten können, bis das gesamte Budget erschöpft ist. Diese Funktion wird als Budgetgerade bezeichnet.

Die Budgetgerade ist die grafische Darstellung aller Kombinationen zweier Güter, die sich ein Haushalt bei gegebenem Einkommen maximal leisten kann.

Die Budgetgerade markiert eine wichtige Scheidelinie. Alle Güterbündel oberhalb der Budgetgeraden kann sich der Haushalt nicht leisten. Bei allen Güterbündeln unterhalb bleibt Geld übrig. Aus der zuvor angestellten Überlegung folgt, dass im Nutzenmaximum ein Punkt gewählt wird, der auf der Budgetgeraden liegt.

Betrachten wir zur Verdeutlichung ein konkretes Zahlenbeispiel. Dazu betrage das (monatliche) Budget unseres Studenten 300 Euro. Die Miete koste 6 Euro pro Mengeneinheit (Quadratmeter) und der Preis einer Mahlzeit sei 3 Euro. Auch ohne große Mathematik lässt sich die Budgetgerade nun sofort zeichnen. Angenommen der Student gibt sein gesamtes Einkommen für Essen und Trinken aus, dann kann er sich Mahlzeiten leisten, während für eine Wohnung kein Cent mehr übrig bleibt. Im x-y-Koordinatensystem entspricht dieser Punkt der Stelle (100; 0) und somit die Nullstelle der Budgetgeraden. Im anderen Extremfall steckt der Student sein gesamtes Geld in eine möglichst große Wohnung. Bei einem Mietpreis von 6 Euro kann er sich dann eine m2-große Wohnung leisten. Wir erhalten somit den Achsenabschnitt (0; 50). Da jede Gerade durch die Angabe von zwei Punkten exakt beschrieben wird, können wir an Hand dieser zwei extremen Aufteilungen des Budgets die Budgetgerade sofort zeichnen, indem wir diese beiden Punkte einfach miteinander verbinden.

Die folgende Tabelle soll verdeutlichen, dass in der Tat bei allen Konsumbündeln auf der Budgetgeraden, das Budget voll ausgeschöpft wird.

Zur Ermittlung der Budgetgeraden können wir natürlich auch das Budget M und die Marktpreise in die allgemeine Funktionsvorschrift einsetzen. Wir erhalten dann:

An diesem Ausdruck, der der allgemeinen Geradengleichung entspricht, lassen sich nun sofort zwei wichtige Informationen ablesen. Zum einen gibt das b (in diesem Fall also die 50) den Achsenabschnitt an, was sich mit unseren Überlegungen oben deckt. Zum anderen gibt uns das m (im vorliegenden Fall also die ) die Steigung der Geraden an. Das negative Vorzeichen, das eine fallende Gerade anzeigt, ist wenig verwunderlich, wenn wir uns die Interpretation der Budgetgeraden vor Augen führen. Sie besagt, dass das Individuum für jede Einheit x, die es mehr konsumieren möchte, auf 0,5 Einheiten y verzichten muss, um sein Budget nicht zu überschreiten. Oder konkret an den Zahlenwerten veranschaulicht: Wenn der Student auf 0,5 Quadratmeter Wohnfläche verzichtet, dann hat er genau die Euro frei, um sich eine Mahlzeit mehr kaufen zu können.

Wenn wir noch einmal zu der allgemeinen Formulierung der Budgetgerade zurückkehren, können wir die folgenden zwei wichtigen Beobachtungen treffen:

  1. Die Steigung der Budgetgeraden entspricht genau dem negativen Preisverhältnis der Güter.
  2. Der Achsenabschnitt der Budgetgeraden ergibt sich durch Division des Budgets M durch den Preis von Gut y.

Aus diesen beiden Beobachtungen lassen sich Aussagen über die grundlegenden Eigenschaften der Budgetgeraden ableiten, wenn sich die Preise bzw. das vorgegebene Budget verändern:

Eine reine Veränderung des Budgets (d.h. bei gleich bleibenden Preisen) führt zu einer Parallelverschiebung der Budgetgerade nach unten oder oben. Wenn sich die Preise nicht verändern, verändert sich die Steigung nicht. Eine unveränderte Steigung bei einer gleichzeitigen Änderung des Achsenabschnitts führt zu einer parallen Verschiebung einer Geraden. Dies wird in der nebenstehenden Grafik demonstriert. Sinkt das Budget, dann verschiebt sich die Budgetgerade nach unten (). Steigt das Budget, ergibt sich eine Parallelverschiebung nach oben ().

Preisveränderungen ändern dagegen die Steigung der Bugetgeraden.

Ändert sich nur der Preis von Gut x (bei unverändertem Budget und gleichem Preis von y), dann ergibt sich eine Drehung der Budgetgeraden im Achsenabschnitt, da davon unberüht bleibt. Dies hat auch eine einfache intuitive Erklärung. Wenn ein Individuum im Extremfall nur das Gut y konsumiert, dann bleibt es natürlich von einer Preisänderung des Gutes x völlig unberührt und kann so viele Einheiten von y konsumieren wie zuvor. Steigt der Preis von Gut x wird die Budgetgerade steiler und dreht sich somit nach innen (). Das Individuum kann sich bei gleicher Menge y nun weniger von Gut x leisten. Umgekehrt wird die Geradensteigung flacher, wenn der Preis von Gut x fällt. Die Budgetgerade dreht sich in diesem Fall nach außen. Das Individuum kann sich nun bei gleicher Menge y nun mehr von Gut x leisten.

Ändert sich nur der Preis von Gut y (bei unverändertem Budget und konstantem Preis von x), dann ergibt sich eine Drehung der Budgetgeraden in der Nullstelle. Steigt der Preis von Gut y wird der Achsenabschnitt kleiner, die Budgetgerade wird flacher und dreht sich somit nach unten (). Umgekehrt wird die Geradensteigung steiler, wenn der Preis von Gut y fällt. Der Achsenabschnitt erhöht sich und die Budgetgerade dreht sich in diesem Fall nach oben.

Das Haushaltsoptimum[Bearbeiten]

to be added

Dualitätstheorie[Bearbeiten]

Die Marshall'sche Nachfrage[Bearbeiten]

In vielen ökonomischen Anwendungen wird die Frage zu beantworten sein, wie Preisveränderungen (z.B. durch eine Steuer) sich auf den optimalen Konsumplan und die Wohlfahrt der Beteiligten auswirken. Anstatt nun für jedes neue Preisniveau den Lagrange-Ansatz neu durchzuführen, empfiehlt es sich, das Optimierungsprogramm ganz allgemein für beliebige Preise und und ein beliebiges Budget aufzustellen und durchzurechnen.

Nehmen wir erneut die Nutzenfunktion aus Beispiel xxx: . Dann lautet das Optimierungsprogramm für diese Funktion ganz allgemein:

Dies führt zu folgender Lagrange-Funktion:

Diese Funktion müssen wir nun nach unseren beiden strategischen Parametern x und y sowie nach dem Lagrange-Multiplikator ableiten und diese Ableitungen gleich Null setzen. Damit lauten die drei Bedingungen erster Ordnung (first order conditions):

Aus (1) und (2) folgt durch Gleichsetzen . Dieser Ausdruck lässt sich nun sowohl nach x als auch nach y auflösen. Wir lösen zunächst nach y auf und erhalten:

Diese Beziehung zwischen y und x lässt sich nun in die dritte Gleichung (=Budgetbedingung) einsetzen:

Umgeformt und aufgelöst nach x erhalten wir das erste zentrale Zwischenergebnis:

Da die Beziehung aus dem Optimierungsprogramm hergeleitet worden ist, gibt uns x* nun an, wie die nutzenmaximierende Nachfrage nach dem Gut x von dem verfügbaren Budget M und allen Preisen auf dem Markt abhängt. Dies wird als Marshall’sche Nachfrage (oder auch unkompensierte Nachfrage) bezeichnet und, dem englischen Ausdruck demand

Bei einer Veränderung des Budget verschiebt sich die Budgetgerade parallel.
Ändert sich nur der Preis des Gutes x, dreht sich die Budgetgerade im Achsenabschnitt.
Ändert sich nur der Preis des Gutes y, dreht sich die Budgetgerade in der Nullstelle.

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